Question

【题目】已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点
∴FG∥CD，且FG= DC=1．
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等
∴EF∥BG．
EF面ABC，BG面ABC
∴EF∥面ABC
（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，
∴BG⊥面ADC．
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC．
解：（Ⅲ）
方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．
．
方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO为VA﹣BCDE的高， ，∴ ．

【解析】（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC；（Ⅱ）根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；（Ⅲ）方法一：四棱锥四棱锥A﹣BCDE分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC，分别求出三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC的体积，即可得到四棱锥A﹣BCDE的体积．
方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE，即AO为VA﹣BCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A﹣BCDE的体积．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．