Question

已知f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ（m，n∈N^*）的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x²项的系数最小值，及m，n值．

Answer 1

【答案】分析：展开式中含x²项的系数是关于m，n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得2m+4n=36，从而转化为关于m或n的二次函数求解．
解答：解：∵f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ展开式中含x的项为•2x+•4x=（2m+4n）x，
∵f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ（m，n∈N^*）的展开式中含x项的系数为36，
∴m+2n=18，
∴f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ展开式中含x²的项的系数为t=•2²+•4²=2m²-2m+8n²-8n，
∵m+2n=18，
∴m=18-2n，
∴t=2（18-2n）²-2（18-2n）+8n²-8n=16n²-148n+612
=16（n²-n+），
∴当n=时，t取最小值，但n∈N^*，
∴n=5时t最小，即x²项的系数最小，最小值为272，此时n=5，m=8．
点评：本题考查二项式系数的性质，求得m+2n=18是解决问题的关键，考查二次函数的性质，考查配方法与分析、转化与运算能力，属于中档题．