Question

函数f（x）的定义域为R，并满足条件：
①对任意x∈R，有f（x）＞0；
②对任意x，y∈R，有f（x•y）=[f（x）]^y；
③f(

1

3

)＞1．
（1）求f（0）的值；   
（2）求证：f（x）在R上是单调递增函数．

Answer 1

分析：（1）可采用赋值法，令x=0，y=2代入可求得f（0）的值；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可令x1=

1

3

P1，x2=

1

3

P2，故p₁＜p₂，再判断f（x₁）-f（x₂）的符号，从而可证其单调性；

解答：解：（1）令x=0，y=2，则f（0）=[f（0）]²
∵f（0）＞0，∴f（0）=1
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
设x1=

1

3

P1，x2=

1

3

P2，则P₁＜P₂
∴f(x1)-f(x2)=f(

1

3

P1)-f(

1

3

P2)=[f(

1

3

)]P1-[f(

1

3

)]P2
∵f(

1

3

)＞1，P1＜P2，∴[f(

1

3

)]P1＜[f(

1

3

)]P2
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在R上是单调递增函数．

点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于用单调函数的定义证明其单调递增时“任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x1=

1

3

P1，x2=

1

3

P2”这一步的灵活理解与应用，属于中档题．