Question

16．设命题p：方程$\frac{x^2}{3-k}+\frac{y^2}{k-1}$=1表示双曲线；命题q：方程y²=（k²-2k）x表示焦点在x轴的正半轴上的抛物线．
（1）若命题p为真，求实数k的取值范围；
（2）若命题（?p）∧q是真命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的简单性质列出不等式，求解即可．
（2）命题（?p）∧q是真命题，两个命题都是真命题，求解k的范围去交集即可．

解答 解：（1）因为p为真，方程$\frac{x^2}{3-k}+\frac{y^2}{k-1}$=1表示双曲线；所以（3-k）（k-1）＜0，…（3分）
所以实数k的取值范围为（-∞，1）∪（3，+∞）．                …（6分）
（2）当?p是真命题时，实数k的取值范围是[1，3]，…（8分）
当q是真命题时，k²-2k＞0，解得k＞2或k＜0，…（11分）
因为命题（?p）∧q是真命题，所以?p是真命题且q也是真命题，
所以$\left\{\begin{array}{l}1≤k≤3\\ k＞2或k＜0\end{array}\right.$，所以实数k的取值范围是（2，3]．          …（14分）

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，双曲线的简单性质，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．