Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（1）求f（x）的解析式及x₀的值；
（2）若锐角θ满足cosθ=

1

3

，求f（4θ）的值．

Answer 1

分析：（1）根据图象求出A，T，求出ω，图象经过（0，1），求出φ，然后求f（x）的解析式，根据（x₀，2）求x₀的值；
（2）锐角θ满足cosθ=

1

3

，求出sinθ，sin2θ，cos2θ，化简f（4θ），然后求f（4θ）的值．

解答：解：（1）由题意可得：A=2，

T

2

=2π，
即

2π

ω

=4π∴ω=

1

2

，f(x)=2sin(

1

2

x+φ)，f（0）=2sinφ=1，
由|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

．（3分）
f(x0)=2sin(

1

2

x0+

π

6

)=2，
所以

1

2

x0+

π

6

=2kπ+

π

2

，x0=4kπ+

2π

3

(k∈Z)，
又∵x₀是最小的正数，∴x0=

2π

3

；（7分）
（2）f(4θ)=2sin(2θ+

π

6

)=

3

sin2θ+cos2θ，
∵θ∈(0，

π

2

)，cosθ=

1

3

，∴sinθ=

2 2

3

，
∴cos2θ=2cos2θ-1=-

7

9

，sin2θ=2sinθcosθ=

4 2

9

，
∴f(4θ)=

3

•

4 2

9

-

7

9

=

4 6

9

-

7

9

．（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，二倍角的余弦，考查计算能力，视图能力，是基础题．