Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=4，CD=2，等腰梯形的高为3，O为AB中点，PO⊥平面ABCD，垂足为O，PO=2，EA∥PO．
（1）求证：BD⊥平面EAC；
（2）求二面角E-AC-P的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲证BD⊥平面EAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面EAC内两相交直线垂直，取CD中点M，以AB中点O为坐标原点，OA、OM、OP为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，根据向量数量积可知BD⊥AC，而BD⊥AE，满足定理所需条件；
（2）先求出平面PAC的一个法向量，结合图形可知

BD

是平面EAC的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即为二面角E-AC-P的余弦值．

解答：解：（1）证：如图，取CD中点M，以AB中点O为坐标原点，OA、OM、OP为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，
则A（2，0，0），B（-2，0，0），C（-1，3，0），D（1，3，0），

AC

=(-3，3，0)，

BD

=(3，3，0)，

AC

•

BD

=-3×3+3×3=0
∴BD⊥AC、（4分）
∵AE∥PO，PO⊥平面ABCD，∴AE⊥平面ABCD得BD⊥AE，
∴BD⊥平面EAC
（2）P（0，0，2），

AP

=（-2，0，2），设平面PAC的一个法向量

n

=(x，y，z)，
由

AP • n =0 AC • n =0

得

-2x+2z=0 -3x+3y=0

设x=1得

n

=(1，1，1)．

BD

=（3，3，0）是平面EAC的一个法向量
cos＜

n

，

BD

＞=

n • BD

| n || BD |

=

3+3

3 2 • 3

=

6

3

．故二面角E-AC-P的余弦值

6

3

．（12分）

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．