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    设A是平面向量的集合，是定向量，对，定义f(
    x
    )=
    x
    -2(
    a
    •
    x
    )•
    a
    ．现给出如下四个向量：
    ①
    a
    =(0 ， 0)    ，②
    a
    =(
    		2
    4
     ， 
    		2
    4
    )    ，③
    a
    =(
    		2
    2
     ， 
    		2
    2
    )    ，④
    a
    =(-
    1
    2
     ， 
    		3
    2
    )    ．
    那么对于任意
    x
    、
    y
    ∈A    ，使f(
    x
    )•f(
    y
    )=
    x
    •
    y
    恒成立的向量
    a
    的序号是
     
    （写出满足条件的所有向量
    a
    的序号）．
    分析：由于①是零向量代入f（x）检验是否满足要求即可；对于一般情况，利用向量的数量积的运算律求出f（x）f（y）；要满足条件得到
    a
    2    =1    ，再判断②③④哪个满足即可．
    解答：解：对于①当
    a
    =(0 ， 0)    时，f(
    x
    )=
    x
    满足f(
    x
    )•f(
    y
    )=
    x
    •
    y

    当
    a≠
    0
    时，
    f(
    x
    )•f(
    y
    )= [
    x
    -2(
    a
    •
    x
    )•
    a
    ][
    y
    -2(
    a
    •
    y
    )•
    a
    ]
    =
    x
    •
    y
    -4(
    a
    •
    x
    )(
    a
    •
    y
    )    +4(
    a
    •
    x
    )(
    a
    •
    y
    )
    a
    2
    要满足f(
    x
    )•f(
    y
    )=
    x
    •
    y

    需4(
    a
    •
    x
    )(
    a
    •
    y
    )
    a
    2    = 4(
    a
    •
    x
    )(
    a
    •
    y
    )
    ∴
    a
    2    =1
    对于③④
    a
    2    =1
    故答案为①③④
    点评：本题考查向量的数量积的运算律：满足交换量不满足结合律但当向量与实数相乘时满足结合律．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•江门一模）设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足f(
    a
    )=
    0
    ，
    a
    =
    0
    1
    |
    a
    |
    a
    ，
    a
    ≠
    0
    .
    ，则对?
    a
    、
    b
    ∈V    ，?λ∈R，下列结论恒成立的是（　　）

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    科目：高中数学 来源：江门一模 题型：单选题

    设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足f(
    a
    )=
    0
    ，
    a
    =
    0
    1
    |
    a
    |
    a
    ，
    a
    ≠
    0
    .
    ，则对?
    a
    、
    b
    ∈V    ，?λ∈R，下列结论恒成立的是（　　）
    A．f(
    a
    +
    b
    )=f(
    a
    )+f(
    b
    )    		B．f（|
    a
    |•
    a
    +|
    b
    |
    b
    ）=f[f（
    a
    ）+f（
    b
    ）]
    C．f（|
    a
    |•
    a
    ）=f（
    a
    ）    		D．f（|
    b
    |•
    a
    +|
    a
    |
    b
    ）=f[f（
    a
    ）+f（
    b
    ）]

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    科目：高中数学 来源：2012年广东省江门市高考数学一模试卷（文科）（解析版） 题型：选择题

    设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足，则对、，?λ∈R，下列结论恒成立的是（ ）
    A．
    B．f=f[f（）+f（）]
    C．f=f（）
    D．f=f[f（）+f（）]

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    科目：高中数学 来源：2011年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    设A是平面向量的集合，是定向量，对，定义．现给出如下四个向量：
    ①，②，③，④．
    那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是    （写出满足条件的所有向量的序号）．

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