Question

设F为抛物线y²=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若

FA

+

FB

+

FC

=

0

，则|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=

 

．

Answer 1

分析：先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据

FA

+

FB

+

FC

=0，判断点F是△ABC重心，进而可求x₁+x₂+x₃的值．最后根据抛物线的定义求得答案．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=-1
∵

FA

+

FB

+

FC

=

0

，
∴点F是△ABC重心
则x₁+x₂+x₃=3
y₁+y₂+y₃=0
而|FA|=x₁-（-1）=x₁+1
|FB|=x₂-（-1）=x₂+1
|FC|=x₃-（-1）=x₃+1
∴|FA|+|FB|+|FC|=x₁+1+x₂+1+x₃+1=（x₁+x₂+x₃）+3=3+3=6
故答案为：6．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，平面向量的基础知识．考查了学生分析问题和解决问题的能力．解本题的关键是判断出F点为三角形的重心．