Question

已知函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（-∞，0），f（x）+xf′（x）＜0成立．若a=（2^0.2）•f（2^0.2），b=（ln2）•f（ln2），c=（log₂

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）•f（log₂

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4

），则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c

B．b＞a＞c

C．c＞a＞b

D．a＞c＞b

Answer 1

分析：由y=f（x-1）的图象关点（1，0）对称，知f（x）是奇函数；令g（x）=xf（x），得g（x）是偶函数；由x∈（-∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，得函数g（x）在x∈（-∞，0）上单调递减，从而得g（x）在（0，+∞）上单调递增；再由-log₂

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4

=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，得a，b，c的大小．

解答：解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
∴f（x）是奇函数，∴xf（x）是偶函数．
设g（x）=xf（x），当x∈（-∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函数g（x）在x∈（-∞，0）上单调递减，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
∵-log₂

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4

=2＞2^0.2＞1＞ln2＞0，∴g（-log₂

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）＞g（2^0.2）＞g（ln2）；
又g（-log₂

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）=g（log₂

1

4

），即（log₂

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）•f（log₂

1

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）＞（2^0.2）•f（2^0.2）＞（ln2）•f（ln2）；
∴c＞a＞b．
故选：C．

点评：本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识，解题的关键是构造函数g（x）并求导，属于易出错的题目．