Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，．
（I）求f（-1）的值；
（II）求函数f（x）的值域A；
（III）设函数的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据函数是偶函数，把-1转化到给出解析式的范围上，代入解析式可求．
（II）因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以x≥0时函数值的取值集合就是函数f（x）的值域A，求出（x≥0）的取值集合即可．
（III）先写出x所要满足的一元二次不等式，因为A=（0，1]⊆B，
法一：把不等式分解因式，很容易看出两根，一根为-1又B中含有正数，所以另一根一定大于-1得定义域B=[-1，a]，得实数a的取值范围；
法二：设为函数，利用函数图象，（0，1]在图象与x轴的两交点之间，图象开中向上，x=0，x=1时对应的函数小于等于0，得不等式组，可求实数a的取值范围．
解答：解：（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-1）=f（1）
又x≥0时，
∴，即f（-1）=．
（II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得函数f（x）的值域A即为
x≥0时，f（x）的取值范围，
当x≥0时，
故函数f（x）的值域A=（0，1]．
（III）∵
定义域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}={x|x²-（a-1）x-a≤0}
方法一：由x²-（a-1）x-a≤0得（x-a）（x+1）≤0
∵A⊆B∴B=[-1，a]，且a≥1（13分）
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}
方法二：设h（x）=x²-（a-1）x-a
A⊆B当且仅当即
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}
点评：本题考查函数的奇偶性，集合包含关系的判断，函数值域，函数的奇偶性在求相反两个自变量的函数值时很好用，在求值域上也可只求y轴一侧的，由集合的包含关系求参数范围时，用端点比较法，结合图象，更好理解．