Question

3．已知过点P（m，n）的直线l与直线l₀：x+2y+4=0垂直．
（Ⅰ） 若$m=\frac{1}{2}$，且点P在函数$y=\frac{1}{1-x}$的图象上，求直线l的一般式方程；
（Ⅱ） 若点P（m，n）在直线l₀上，判断直线mx+（n-1）y+n+5=0是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）点P在函数$y=\frac{1}{1-x}$的图象上，可得点$P（{\frac{1}{2}，2}）$，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．
（Ⅱ）点P（m，n）在直线l₀上，可得m+2n+4=0，即m=-2n-4，代入mx+（n-1）y+n+5=0中，整理得n（-2x+y+1）-（4x+y-5）=0，由$\left\{\begin{array}{l}-2x+y+1=0\\ 4x+y-5=0\end{array}\right.$，解得即可得出．

解答 解：（Ⅰ）点P在函数$y=\frac{1}{1-x}$的图象上，$n=\frac{1}{1-m}=2$，即点$P（{\frac{1}{2}，2}）$…（2分）
由x+2y+4=0，得$y=-\frac{1}{2}x-2$，即直线l₀的斜率为$-\frac{1}{2}$，
又直线l与直线l₀垂直，则直线l的斜率k满足：$-\frac{1}{2}k=-1$，即k=2，…（4分）
所以直线l的方程为$y-2=2（{x-\frac{1}{2}}）$，一般式方程为：2x-y+1=0．…（6分）
（Ⅱ）点P（m，n）在直线l₀上，所以m+2n+4=0，即m=-2n-4，…（8分）
代入mx+（n-1）y+n+5=0中，整理得n（-2x+y+1）-（4x+y-5）=0，…（10分）
由$\left\{\begin{array}{l}-2x+y+1=0\\ 4x+y-5=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$，
故直线mx+（n-1）y+n+5=0必经过定点，其坐标为（1，1）．…（12分）

点评 本题考查了直线相互垂直的充要条件、直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．