Question

函数f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）是否存在点P，使得过点P的直线若能与曲线y=f（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积相等？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得f'（x）=3ax²-12ax+3b，f'（2）=-3，
∵图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．
∴x=2时，y=5，即f（2）=5，
∴即
解得a=1，b=3，
∴f（x）=x³-6x²+9x+3．（4分）
（Ⅱ）由f（x）=x³-6x²+9x+3，可得f'（x）=3x²-12x+9，
∴=x²+x+3+m，
则由题意可得x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x³-7x²+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点，g'（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4），
则g（x），g'（x）的变化情况如下表．

x				4	（4，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

则函数f（x）的极大值为，极小值为g（4）=-16-m．（6分）
y=f（x）的图象与的图象有三个不同交点，则有：
解得．（8分）
（Ⅲ）存在点P满足条件．（9分）
∵f（x）=x³-6x²+9x+3，
∴f'（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f'（x）=0，得x₁=1，x₂=3．
当x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＞3时，f'（x）＞0．
可知极值点为A（1，7），B（3，3），线段AB中点P（2，5）在曲线y=f（x）上，且该曲线关于点P（2，5）成中心对称．
证明如下：
∵f（x）=x³-6x²+9x+3，
∴f（4-x）=（4-x）³-6（4-x）²+9（4-x）+3=-x³+6x²-9x+7，
∴f（x）+f（4-x）=10．
上式表明，若点A（x，y）为曲线y=f（x）上任一点，其关于P（2，5）的对称点A（4-x，10-y）也在曲线y=f（x）上，曲线y=f（x）关于点P（2，5）对称．
故存在点P（2，5），使得过该点的直线若能与曲线y=f（x）围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．…（12分）
分析：（Ⅰ）求得函数的导数，利用函数在某一点处导数的几何意义：f'（2）=-3以及f（2）=5，列方程组求解参数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中得到的函数解析式y=f（x）的图象与的图象有三个不同的交点，转化为方程
f（x）=有三个不相等的实根，进一步转化为函数g（x）=f（x）-的图象与x轴有三个不同的交点，于是利用函数导数可得新函数g（x）的极值，通过判断极值的符号可得结论．
（Ⅲ）根据函数f（x）=x³-6x²+9x+3，可知极值点为A（1，7），B（3，3），进而证明线段AB中点P（2，5）在曲线y=f（x）上，且该曲线关于点P（2，5）成中心对称．
点评：本题考查函数的导数以及导数的几何意义，利用导数求解函数的单调性和极值问题，考查了函数的对称性，考查了函数与方程的思想，转化与化归的思想，综合性强．