Question

已知函数f（x）=2cos²x+2sinx-cosx+a-1且a为常数．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当x∈[0，]时，f（x）的最小值为4，求a的值．

Answer 1

解：函数f（x）=1+2cos2x+sin2x+a-1=2sin（2x+）+a．
（1）∴f（x）的最小正周期为 T==π，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得
kπ-≤x≤kπ+，∴递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
（2）当x∈[0，]时，≤2x+≤，
∴当 2x+= 时，f（x）的最小值为：2×（-）+a=4，故 a=5．
分析：（1）化简函数解析式为2sin（2x+）+a，周期为 T=，由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范围即得递增区间．
（2）当x∈[0，]时，求得2x+的范围，利用单调性得 2x+= 时，f（x）有最小值 4，解方程得到a值．
点评：本题考查三角函数的单调性、周期性以及最值的求法，判断2x+= 时，f（x）有最小值是解题的关键．