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精英家教网如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
(2)求二面角E-AC-B的大小.
分析:(1)欲证PB∥平面AEC,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可,连BD交AC于点O,连EO,则EO是△PDB的中位线则EO∥PB,满足条件;
(2)取AD的中点F,连EF,FO,根据定义可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角,在△EOF中求出此角,而二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补.
解答:解:(1)由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC
又AB⊥AC,所以AC⊥平面PAB,所以AC⊥PB
连BD交AC于点O,连EO,
则EO是△PDB的中位线,
∴EO∥PB
∴PB∥平面AEC
(2)取AD的中点F,连EF,FO,
则EF是△PAD的中位线,
∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD,
∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位线,
∴FO∥AB,FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角.
又FO=
1
2
AB=
1
2
PA=EF
∴∠EOF=45°而二面角E-AC-B与二面角E-AC-D互补,
故所求二面角E-AC-B的大小为135°.
点评:本题主要考查了直线与平面平行的判定,以及二面角等有关知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
练习册系列答案
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