Question

【题目】已知函数 ．
（1）当x∈（0，1）时，求f（x）的单调性；
（2）若h（x）=（x2﹣x）f（x），且方程h（x）=m有两个不相等的实数根x1 ， x2 ． 求证：x1+x2＞1．

Answer 1

【答案】
（1）

解： ，

设g（x）=x﹣1﹣lnx，

则 ，

∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，

∴g（x）＞g（1）=0，

∴f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，1）上单调递增．

（2）

解：h（x）=x2lnx﹣ax2+ax（a＜0），

∴h'（x）=2xlnx+x﹣2ax+a，

∴h'（x）=2lnx﹣2a+3，

∴h'（x）在（0，+∞）上单调递增，

当x→0时，h'（x）＜0，h'（1）=3﹣2a＞0，

∴必存在α∈（0，1），使得h'（x）=0，即2lnα﹣2a+3=0，

∴h'（x）在（0，α）上单调递减，在（α，+∞）上单调递增，

又h'（α）=a﹣2α＜0，h'（1）=1﹣a＞0，

设h'（x0）=0，则x0∈（0，1），

∴h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

又h（1）=0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜x0，x0＜x2＜1，

由（1）知 ，

∴ ，

∴ ，

∴x1+x2＞1．

【解析】（1）先求导，再构造函数，根据导数和函数的单调性的关系即可判断f（x）在（0，1）上的单调性，（2）先求导，设h'（x0）=0，则x0∈（0，1），则h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0 ， +∞）上单调递增，由（1）知 ，即可证明x1+x2＞1
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．