Question

已知椭圆=1,过点P（2，1）引一条弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程.

Answer 1

解法一：如图，设弦与椭圆的两交点坐标为A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂).又P(2,1),

∴

①-②得（x₁-x₂)(x₁+x₂)+4(y₁-y₂)(y₁+y₂)=0,

∴=k_AB.

∴l_AB的方程为y-1=-(x-2).

解法二：依题意知，过点P的直线的斜率是存在的.

设过点P(2,1)的直线方程为y-1=k(x-2).

联立方程组消去y,得

(4k²+1)x²-8k(2k-1)x+4k²-16k-12=0.

设弦与椭圆的两交点为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),又中点P(2,1)，由韦达定理，得=2,解得k=-.

因为点P(2,1)在椭圆=1内，所以直线AB必与椭圆相交.

直线AB的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0为所求.