Question

函数f( x )=2x-

a

x

的定义域为（0，+∞）（a为实数）．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的值域（不必说明理由）；
（2）若函数y=f（x）在[1，+∞）定义域上是增函数，求负数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若不等式f（m•4^x+1）≥f（2^x）（m＞0，且m为常数）在x∈（0，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f( x )=2x-

a

x

的定义域为（0，+∞），a=-1，知f（x）=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，由此能求出函数y=f（x）的值域．
（2）函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，任取x₁，x₂∈（0.1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，由此能求出负数a的取值范围．
（3）m＞0，x∈（0，+∞），从而m•4^x+1＞1且2^x＞1，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f( x )=2x-

a

x

的定义域为（0，+∞），a=-1，
∴f（x）=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，
当且仅当2x=

1

x

，x=

2

2

时取等号，
∴函数y=f（x）的值域为[ 2

2

， +∞ )； …（2分）
（2）函数y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，
则任取x₁，x₂∈（0.1]且x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）成立，
从而有f(x1)-f(x2)=(2x1-

a

x1

)-(2x2-

a

x2

)=(x1-x2)(2+

a

x1x2

)＜0
?2+

a

x1x2

＞0?a＞-2x1x2在[1，+∞）上成立
∴-2≤a＜0，
∴负数a的取值范围是[-2，0）．…（5分）
（3）∵m＞0，x∈（0，+∞），
从而m•4^x+1＞1且2^x＞1，
从而又（2）可得：f(m•4x+1)≥f(2x)?m•4x+1≥2x?m≥

2x-1

4x

在x∈（0，+∞）上恒成立．
令t=

1

2x

∈(0，1)，g(t)=-t2+t=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
从而可得g(t)max=g(

1

2

)=

1

4

∴实数m的取值范围是{m|m≥

1

4

}．…（5分）

点评：本题考查函数的值域的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，考查运算推理能力和等价转化思想，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．