Question

已知函数f(x)=

1+2x

1-2x

+log2

1+x

1-x

  （1）判别函数的奇偶性，说明理由；（2）解不等式f(x)-

1+2x

1-2x

≤2．

Answer 1

分析：（1）先由真数大于0，解不等式得出函数的定义域，再由奇函数的定义只要判断f（x）和f（-x）的关系即可，也可计算f（x）+f（-x）=0进行判断．
（2）由不等式f(x)-

1+2x

1-2x

≤2，即 log2

1+x

1-x

≤2．最后利用对数的单调性转化为分式不等式求解即得．

解答：解：（1）定义域

1-2x≠0 1+x 1-x ＞0

（2分），
x∈（-1，0）∪（0，1）（1分）（直接写出得3分）
f(-x)=

1+2-x

1-2-x

+log2

1-x

1+x

=

2x+1

2x-1

-log2

1+x

1-x

=-f(x)（2分）
所以f（x）是奇函数（1分）
（2）log2

1+x

1-x

≤2，（1分）
0＜

1+x

1-x

≤4，（1分）
∴x≤

3

5

或x＞1（2分）
最后不等式的解集是(-1，0)∪(0，

3

5

]（2分）

点评：本题考查复合函数的定义域、单调性、奇偶性的判断和证明，难度不大，解题时要注意解对数函数的不等式时，不要忘记其真数为正数这个前提条件．