练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线y=
    x
    4
    上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
    （1）证明：数列{yn}是等差数列；
    （2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
    （3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）
    （1）依题意有yn=
    n
    4
    ，于是yn+1-yn=
    1
    4
    ．
    所以数列{yn}是等差数列．（4分）
    （2）由题意得
    xn+xn+1
    2
    =n    ，即xn+xn+1=2n，（n∈N*）         ①
    所以又有xn+2+xn+1=2（n+1）．②
    由②-①得：xn+2-xn=2，所以xn+2-xn是常数．　　　　　　　（6分）
    由x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．x1=a（0＜a＜1），x2=2-a，那么得 
     x2k-1=x1+2（k-1）=2k+a-2，x2k=x2+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N*）（8分）
    故xn=
    n+a-1(n为奇数)
    n-a(n为偶数)
    （10分）
    （3）提出问题：若等腰三角形AnBnAn+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．
    当n为奇数时，An（n+a-1，0），An+1（n+1-a，0），所以|AnAn+1|=2（1-a）；
    当n为偶数时，An（n-a，0），An+1（n+a，0），所以|AnAn+1|=2a；
    过Bn作x轴的垂线，垂足为Cn，则|BnCn|=
    n
    4
    ，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只须：|AnAn+1|=2|BnCn|．（13分）
    当n为奇数时，有2(1-a)=2×
    n
    4
    ，即a=1-
    n
    4
    ①
    ∴当n=1 时，a=
    3
    4
    ；当 n=3 时，a=
    1
    4
    ，当n≥5，a＜0不合题意．（15分）
    当n为偶数时，有2a=2×
    n
    4
    ，a=
    n
    4
    ，同理可求得 
     当n=2 时  a=
    1
    2

    当n≥4时，a＜0不合题意．（17分）
    综上所述，使等腰三角形AnBnAn+1中，有直角三角形，a的值为
    3
    4
    或
    1
    4
    或
    1
    2
    ．（18分）
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线y=
    x4
    上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
    （Ⅰ）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
    （Ⅱ）问是否存在等腰直角三角形AnBnAn+1？请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数y=
    1
    4
    x+
    1
    12
    图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以
    Bn为顶点的等腰三角形．
    （1）求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
    （2）试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
    （3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•上海模拟）已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线y=
    x4
    上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
    （1）证明：数列{yn}是等差数列；
    （2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
    （3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数y=
    1
    4
    x+
    1
    12
    图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形．
    （1）求数列{yn}2的通项公式，并证明{yn}3是等差数列；
    （2）证明xn+2-xn5为常数，并求出数列{xn}6的通项公式；
    （3）问上述等腰三角形An8Bn9An+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•蓝山县模拟）已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N?）顺次为抛物线y=
    1
    4
    x2上的点，过点Bn（n，bn）作抛物线y=
    1
    4
    x2的切线交x轴于点An（an，0），点Cn（cn，0）在x轴上，且点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形．
    （1）求数列{an}，{cn}的通项公式；
    （2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
    （3）设数列{
    1
    an•(
    3
    2
    +cn)
    }的前n项和为Sn，求证：
    2
    3
    ≤Sn＜
    4
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案