Question

(本小题满分14分）
已知
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设关于的方程的两个根为、，若对任意
，，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

解：(1) y=  ；（2） ；（3）。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）a=1时，， ，过点的切线方程为y= 得到结论。
（2）， ∵在区间上是增函数，∴对恒成立，即 对恒成立等价转化得到结论。
（3）由，得，
∵ ∴是方程 的两非零实根，
∴，从而
结合不等式得到结论。
解：(1)a=1时，，-------2分
，过点的切线方程为y=   ----------4分
（2） ，
∵在区间上是增函数，
∴对恒成立，
即 对恒成立     
设，则问题等价于
，
∴          --------9
（3）由，得，
∵ ∴是方程 的两非零实根，
∴，从而，
∵，∴.
∴不等式对任意及恒成立
对任意恒成立对任意恒成立
设，则问题又等价于

即 的取值范围是-----14分