Question

 （本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧面A₁ADD₁⊥底面ABCD，D₁A= D₁D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。

（Ⅰ）求证：A₁O∥平面AB₁C；

       （Ⅱ）求锐二面角A—C₁D₁—C的余弦值.

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：如图（1），连结CO，AC，…… 1分

则四边形ABCO为正方形. ………………………2分

∴OC=AB=A₁ B₁，且OC∥AB∥A₁ B₁

     ∴四边形A₁ B₁CO为平行四边形. ………………3分

∴A₁ O∥B₁ C………………………………………4分

      又A₁ O奂平面AB₁C，B₁C奂  平面AB₁C. ………5分

∴A₁ O∥平面AB₁C. ……………………………6分

（Ⅱ）∵D₁ A=D₁ D,O为AD中点. ∴D₁ O⊥AD.

       又侧面A₁ ADD₁ ⊥底面ABCD.

       ∴D₁ O⊥底面ABCD. ………………………………7分

以O为原点，OC，OD，OD₁所在直线分别为x轴、y轴、

z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0）.

   D（0，1，0），D₁（0，0，1），A（0，-1，0），……8分

∴（1，-1，0），=（0，-1，1）

=（0，-1，-1），=（1，-1，0），……9分

设m=（x,y,z）为平面C₁CD₁D的一个法向量.

…………………………………10分

又设n=（x₁，y₁，z₁）为平面AC₁D₁的一个法向量.

令z₁=1，则y₁=-1，x₁=-1. ∴n=（-1，-1，1）. ………………………………………11分

故所求锐二面角A—C₁D₁—C的余弦值为.………………………………………………12分

注：第（Ⅱ）问用几何法做的酌情赋分.