Question

【题目】节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．

Answer 1

【答案】解：（1）由已知得y=，
即y=15+15x（其中）
（2）记p=，则sinx+pcosx=2，则有，
解得或
由于y＞0，所以，当x=，即点O在CD中垂线上离点P距离为(15-15)km处，y取得最小值15+15（km）
【解析】（1）直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；
（2）记p= ， 则sinx+pcosx=2，求出p的范围，即可得出结论．