Question

【题目】已知直线l1：2x－y＋6＝0和直线l2：x＝－1，F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点P在抛物线C上运动，当点P到直线l1和直线l2的距离之和最小时，直线PF被抛物线所截得的线段长是________．

Answer 1

【答案】20

【解析】

由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离．点P到直线l1和直线l2的距离之和最小即转化为点P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小,此时PF⊥l1进而得到直线PF的方程，再由焦点弦的性质得到结果.

直线l2为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离．点P到直线l1和直线l2的距离之和最小即转化为点P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，当点P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小时，直线PF⊥l1，从而直线PF方程为y＝－ (x－1)，代入C方程得x2－18x＋1＝0，所以x1＋x2＝18，从而所求线段长为x1＋x2＋p＝18＋2＝20.

故答案为：20.