Question

已知P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一个动点，且P与椭圆长轴两个顶点连线的斜率之积为-

1

2

，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：设点P的坐标为（x，y），根据椭圆长轴两个顶点坐标为（-a，0），（a，0），P与椭圆长轴两个顶点连线的斜率之积为-

1

2

，可得方程，再利用点P在椭圆上，即可求得椭圆的离心率．

解答：解：设点P的坐标为（x，y），则
∵椭圆长轴两个顶点坐标为（-a，0），（a，0），P与椭圆长轴两个顶点连线的斜率之积为-

1

2

，
∴

y

x+a

×

y

x-a

=-

1

2

∴-2y²=x²-a²①
∵

x2

a2

+

y2

b2

=1
∴x2= a2-

a2y2

b2

②
由①②可得a²=2b²
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

∴e=

2

2

∴椭圆的离心率为

2

2

故选B．

点评：本题重点考查椭圆的离心率，解题的关键是利用P与椭圆长轴两个顶点连线的斜率之积为-

1

2

，寻找几何量之间的关系．