Question

有两个函数f（x）=asin（kx+

π

3

），g（x）=btan（kx-

π

3

）（k＞0），它们的周期之和为

3

2

π且f（

π

2

）=g（

π

2

），f(

π

4

)=-

3

g(

π

4

)+1求这两个函数，并求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：由题义及函数解析式求出其函数周期，在利用已知等式条件建立a，b的方程，求解即可找出其函数单调区间．

解答：解：由条件得

2π

k

+

π

k

=

3

2

π，∴k=2．
由f（

π

2

）=g（

π

2

），得a=2b①
由f（

π

4

）=-

3

g（

π

4

）+1，得a=2-2b②
∴由①②解得a=1，b=

1

2

．
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），g（x）=

1

2

tan（2x-

π

3

）．
∴当-

π

2

+kπ＜2x-

π

3

＜

π

2

+kπ，k∈Z时，g（x）单调递增．
∴g（x）的单调递增区间为：(

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

5

12

π)k∈Z．

点评：此题考查了三角函数的周期求法，及利用方程解未知量的方程思想，还考查了三角函数单调性．