Question

（2013•重庆）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a²=b²+c²+

3

bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=

3

，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出cosA，将依照等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sinA的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出S，代入已知等式中提取3变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此时B的值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

- 3 bc

2bc

=-

3

2

，
∵A为三角形的内角，∴A=

5π

6

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA=

1

2

，由正弦定理得：b=

asinB

sinA

，csinA=asinC及a=

3

得：
S=

1

2

bcsinA=

1

2

•

asinB

sinA

•asinC=3sinBsinC，
则S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B-C），
则当B-C=0，即B=C=

π-A

2

=

π

12

时，S+3cosBcosC取最大值3．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．