【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.
(1)求证:平面PAB∥平面EFG;
(2)证明:平面EFG⊥平面PAD;
(3)在线段PB上确定一点Q,使PC⊥平面ADQ,并给出证明.
【答案】
(1)证明:E,F分别是线段PC,PD的中点,所以EF∥CD,
又ABCD为正方形,AB∥CD,
所以EF∥AB,
又EF平面PAB,所以EF∥平面PAB.
因为E,G分别是线段PC,BC的中点,所以EG∥PB,
又EG平面PAB,所以,EG∥平面PAB.
所以平面EFG∥平面PAB
(2)证明:因为CD⊥AD,CD⊥PD,AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD,
又EF∥CD,所以EF⊥平面PAD,所以平面EFG⊥平面PAD
(3)证明:Q为线段PB中点时,PC⊥平面ADQ.
取PB中点Q,连接DE,EQ,AQ,
由于EQ∥BC∥AD,所以ADEQ为平面四边形,
由PD⊥平面ABCD,得AD⊥PD,
又AD⊥CD,PD∩CD=D,所以AD⊥平面PDC,
所以AD⊥PC,
又三角形PDC为等腰直角三角形,E为斜边中点,所以DE⊥PC,
AD∩DE=D,所以PC⊥平面ADQ.
【解析】(1)运用面面平行的判定定理,先证线面平行,即可得到证明;(2)由线面垂直的性质和面面垂直的判定定理,即可得证;(3)Q为线段PB中点时,PC⊥平面ADQ.运用线面垂直的判定定理即可得到结论.
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【题目】在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别为:A(0,4);B(﹣3,0),C(1,1)
(1)求点C到直线AB的距离;
(2)求AB边的高所在直线的方程.
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【题目】已知单调递增的等比数列满足,且是, 的等差中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,求数列的通项公式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设,问是否存在实数使得数列()是单调递增数列?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,2,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上,过点E作交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=60°.
(1)求证:EF⊥PB;
(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P﹣EFCB的侧面的面积最大?并求此时四棱锥P﹣EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值.
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【题目】2017年春节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.
方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠;若摸出2个红球则打6折,若摸出1个红球,则打7折;若没摸出红球,则不打折.
方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.
(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率;
(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算?
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