Question

19．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-1}$．
（1）求函数定义域；
（2）若f（x）为奇函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下利用定义证明：f（x）在（0，+∞）为减函数．

Answer 1

分析 （1）根据分母不等0，求出x的范围，可得函数的定义域；
（2）根据f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x）恒成立，代入特殊值，可得实数a的值；
（3）设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，结合对数函数的图象和性质，判断f（x₁），f（x₂）的大小，结合函数单调性的定义，可得答案．

解答 解：（1）由2^x-1≠0得：x≠0，
故函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+a}{{2}^{x}-1}$的定义域为{x|x≠0}；
（2）若f（x）为奇函数，
则f（-1）=-f（1），
即$\frac{\frac{1}{2}+a}{\frac{1}{2}-1}$=-$\frac{2+a}{2-1}$，
解得：a=1，
经检验当a=1时，f（-x）=-f（x）恒成立，满足f（x）为奇函数；
（3）设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
则${2}^{{x}_{1}}-1$＜0，${2}^{{x}_{2}}-1＜0$，${2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}＞0$
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+1}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}+1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$=$\frac{{2（{2}^{{x}_{2}}-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
根据函数单调性的定义知函数f（x）在（-∞，0）上为减函数

点评 本题考查的知识点是函数的定义域，函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用．