Question

函数y=a^x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0上，其中m、n＞0，则

2

m

+

1

n

的最小值为（　　）

• A、2

  2

• B、3
• C、3+2

  2

• D、6

Answer 1

分析：最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a^x-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny-1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．

解答：解：由已知定点A坐标为（1，1，由点A在直线mx+ny-1=0上，
∴m+n-1=0，即m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

2

m

+

1

n

=(

2

m

+

1

n

)(m+n)=

2m+2n

m

+

m+n

n

=2+

2n

m

+

m

n

+1≥3+2•

n m • 2m n

=3+2

2

，
当且仅当 n=

2

-1，m= 2-

2

时取等号．
故选C．

点评：均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值．