Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）若G是线段AD的中点，则当PB与面ABCD所成角的正切值为何值时，GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

Answer 1

解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．
设AD=a，则D（0，0，0）
A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），
E（a，，0），P（0，0，z），F（，，）．
（Ⅰ）证明：∵=（-，0，）•（0，a，0）=0，
∴，∴EF⊥CD．
（Ⅱ）当Q是AD中点时，有QF⊥面PBC．
取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．
又FK∥AD，FK=AD，
∴QF∥DK
∴QF⊥面PBC．
∴DK⊥PC，∵K是PC的中点，所以PD=DC，
底面ABCD为正方形，所以DB=
PB与面ABCD所成角的正切值为：．
分析：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F，坐标
（Ⅰ）通过 =0，证明EF⊥CD．
（Ⅱ）取PC中点K，AD的中点Q，连DK，FK，QF，证明DK⊥面PBC，结合QF∥DK，说明QF⊥面PBC．求出PD=DC，然后求解PB与面ABCD所成角的正切值．
点评：本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，证明直线与直线的垂直，直线与平面所成的角，考查计算能力．