Question

16．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，x∈R．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求x∈[-π，0]时，f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式与图象，求出ω与φ的值即可；
（2）根据x的取值范围，得出2x-$\frac{π}{3}$的取值范围，再求出f（x）的单调增和减区间．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），
利用函数的图象得$\frac{3}{4}$T=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{3}$）=$\frac{3π}{4}$，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2；
当x=$\frac{5π}{12}$时，令ωx+φ=2×$\frac{5π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得φ=-$\frac{π}{3}$；
∴函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
（2）又x∈[-π，0]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{7π}{3}$，-$\frac{π}{3}$]，
∴令2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{3π}{2}$，解得x=-$\frac{7π}{12}$；
再令2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，解得x=-$\frac{π}{12}$；
∴f（x）的单调增区间是[-π，-$\frac{7π}{12}$]和[-$\frac{π}{12}$，0]，
单调减区间是[-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{12}$]．

点评 本题考查了三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．