Question

19．C₁的参数方程式$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，A（ρ₁，θ₀）和（ρ₂，θ₀+$\frac{π}{2}$）都在曲线C₁上，$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 C₁的参数方程式$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1化为直角坐标方程．A（ρ₁，θ₀）和（ρ₂，θ₀+$\frac{π}{2}$）化为直角坐标，代入曲线C₁的直角坐标方程即可得出，

解答 解：C₁的参数方程式$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
A（ρ₁，θ₀）和（ρ₂，θ₀+$\frac{π}{2}$）化为直角坐标：A（ρ₁cosθ₀，ρ₁sinθ₀），B（-ρ₂sinθ₀，ρ₂cosθ₀）．
由于都在曲线C₁上，
∴$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}{θ}_{0}}{4}$+sin²θ₀，$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}{θ}_{0}}{4}$+cos²θ₀，
∴$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、椭圆的参数方程、椭圆的直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．