Question

若关于x的方程4^x+2^xm+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：换元，令t=2^x，则关于 t 方程 t²+m t+5=0 至少有一个实根在区间在[2，4]内，令f（t）=t²+m t+5，则△=m²-20≥0，且 f（2）•f（4）＜0，可解出实数m的取值范围．

解答：解：令x∈[1，2]，则t=2^x∈[2，4]，∵关于x的方程4^x+2^xm+5=0至少有一个实根在区间[1，2]内，
∴关于 t 方程 t²+m t+5=0 至少有一个实根在区间在[2，4]内，令f（t）=t²+m t+5，
则△=m²-20≥0，且 f（2）•f（4）＜0，∴-

21

4

≤m≤-2

5

，
∴实数m的取值范围是[-

21

4

，-2

5

]，
故答案为[-

21

4

，-2

5

]．

点评：本题考查方程根存在的条件，方程的根即对应函数的零点，体现换元的数学思想，注意换元过程中变量范围的改变．