Question

18．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（1-a）x+3a，x＜e}\\{lnx，x≥e}\end{array}}\right.$（e为自然对数的底）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{e}{e-3}，1]$
• B． $[\frac{e}{e-3}，1）$
• C． $[\frac{1-e}{3-e}，1]$
• D． $[\frac{1-e}{3-e}，1）$

Answer 1

分析 若函数f（x）的值域为R，则x＜e时，f（x）=（1-a）x+3a的值域B应满足B?（-∞，1），即$\left\{\begin{array}{l}1-a＞0\\（1-a）e+3a≥1\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：当x≥e时，f（x）=lnx≥1，
若函数f（x）的值域为R，
则x＜e时，f（x）=（1-a）x+3a的值域B应满足B?（-∞，1），
即$\left\{\begin{array}{l}1-a＞0\\（1-a）e+3a≥1\end{array}\right.$，
解得：a∈$[\frac{1-e}{3-e}，1）$，
故选：D

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，分类讨论思想，集合思想，难度中档．