分析 (1)由条件可得$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$,运用等差数列的定义和通项公式,可得Sn=$\frac{n(n+1)}{2}$,再由an=Sn-Sn-1,即可得到所求通项公式;
(2)求得bn=n•($\frac{1}{2}$)n-1,运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,可得前n项和为Tn,再运用作差法判断数列的单调性,求得最小值,即可得到k的最大值.
解答 解:(1)Sn+1=$\frac{n+1}{n}$Sn+$\frac{1}{2}$(n+1),
即有$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$,
可得数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首项为1,公差为$\frac{1}{2}$的等差数列,
即有$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+$\frac{1}{2}$(n-1)=$\frac{n+1}{2}$,
则Sn=$\frac{n(n+1)}{2}$,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=$\frac{n(n+1)}{2}$-$\frac{(n-1)n}{2}$=n,
上式对n=1也成立,
则an=n(n∈N*);
(2)an=2n-1bn(n∈N*),
由(1)可得bn=n•($\frac{1}{2}$)n-1,
前n项和为Tn=1•1+2•($\frac{1}{2}$)+3•($\frac{1}{2}$)2+…+n•($\frac{1}{2}$)n-1,①
两边乘$\frac{1}{2}$,可得$\frac{1}{2}$Tn=1•$\frac{1}{2}$+2•($\frac{1}{2}$)2+3•($\frac{1}{2}$)3+…+n•($\frac{1}{2}$)n,②
①-②可得,$\frac{1}{2}$Tn=1+($\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}$)2+…+($\frac{1}{2}$)n-1-n•($\frac{1}{2}$)n
=$\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-n•($\frac{1}{2}$)n,
化简可得,Tn=4-$\frac{4+2n}{{2}^{n}}$.
Tn≥k对于n∈N*恒成立,即为k≤4-$\frac{4+2n}{{2}^{n}}$的最小值.
由Tn+1-Tn=4-$\frac{2n+6}{{2}^{n+1}}$-(4-$\frac{4+2n}{{2}^{n}}$)=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$>0,
数列{Tn}单调递增,T1取得最小值1,
可得k≤1.
即有k的最大值为1.
点评 本题考查数列的通项公式的求法,注意运用当n≥2时,an=Sn-Sn-1,以及等差数列的定义和通项公式;考查数列的求和方法:错位相减法,以及数列不等式恒成立问题的解法,注意运用数列的单调性,属于中档题.
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A. | 1-3i | B. | 1+3i | C. | -1+3i | D. | -1-3i |
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A. | $\frac{3713}{4225}$ | B. | $\frac{2047}{4225}$ | C. | -$\frac{2047}{4225}$ | D. | -$\frac{3713}{4225}$ |
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A. | $\frac{5π}{24}$ | B. | $\frac{7π}{24}$ | C. | $\frac{5π}{36}$ | D. | $\frac{7π}{36}$ |
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A. | (2,3) | B. | [2,3) | C. | $({\frac{9}{4},3})$ | D. | $[{\frac{9}{4},3})$ |
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