【题目】如图,曲线C1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆的一部分.曲线C2是以O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角,若|AF1|=,|AF2|=
.
(1)求曲线C1和C2的方程;
(2)设点C是C2上一点,若|CF1|=|CF2|,求△CF1F2的面积.
【答案】(1)曲线C1的方程为+
=1(-3≤x≤
),曲线C2的方程为y2=4x(0≤x≤
)
(2)2
【解析】(1)设椭圆方程为+
=1(a>b>0),则2a=|AF1|+|AF2|=
+
=6,得a=3.
设A(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则(x+c)2+y2=()2,(x-c)2+y2=(
)2,两式相减得xc=
.由抛物线的定义可知|AF2|=x+c=
,
则c=1,x=或x=1,c=
.又∠AF2F1为钝角,
则x=1,c=不合题意,舍去.当c=1时,b=2
,
所以曲线C1的方程为+
=1(-3≤x≤
),曲线C2的方程为y2=4x(0≤x≤
).
(2)过点F1作直线l垂直于x轴,过点C作CC1⊥l于点C1,依题意知|CC1|=|CF2|.
在Rt△CC1F1中,|CF1|=|CF2|=
|CC1|,所以∠C1CF1=45°,
所以∠CF1F2=∠C1CF1=45°.
在△CF1F2中,设|CF2|=r,则|CF1|=r,|F1F2|=2.
由余弦定理得22+(r)2-2×2×
rcos45°=r2,
解得r=2,
所以△CF1F2的面积S△CF1F2=|F1F2|·|CF1|sin45°=
×2×2
sin45°=2.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,
上的动点
到两焦点的距离之和为4,当点
运动到椭圆
的上顶点时,直线
恰与以原点
为圆心,以椭圆
的离心率为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为
,若
交直线
于
两点.问以
为直径的圆是否过定点?若过定点,请求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】已知由自然数组成的元集合
,非空集合
,且对任意的
,都有
.
(1)当时,求所有满足条件的集合
;
(2)当时,求所有满足条件的集合
的元素总和;
(3)定义一个集合的“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该集合的元素,然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合的交替和是
,集合
的交替和为
.当
时,求所有满足条件的集合
的“交替和”的总和.
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式。
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
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【题目】已知
,若
,且
的图象相邻的对称轴间的距离不小于
.
(1)求的取值范围.
(2)若当取最大值时,
,且在
中,
分别是角
的对边,其面积
,求
周长的最小值.
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【题目】已知函数
(1)求函数在区间
上的值域
(2)把函数图象所有点的上横坐标缩短为原来的
倍,再把所得的图象向左平移
个单位长度
,再把所得的图象向下平移1个单位长度,得到函数
, 若函数
关于点
对称
(i)求函数的解析式;
(ii)求函数单调递增区间及对称轴方程.
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