【题目】如图,四棱锥中,侧面为等边三角形且垂直于底面,
.
(1)证明: ;
(2)若直线与平面所成角为,求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)取的中点为,连接,由正三角形性质得,由矩形的性质得,根据线面垂直的判定定理可得平面,从而可得结论;(2)的方向为轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系,分别求出平面的法向量与平面的法向量,利用空间向量夹角的余弦公式可得结果.
试题解析:(1)取的中点为,连接, 为等边三角形, .底面中,可得四边形为矩形, , 平面, 平面.又,所以.
(2)由面面知, 平面, 两两垂直,直线与平面所成角为,即,由,知,得.分别以的方向为轴, 轴, 轴的正方向建立空间直角坐标系,则 , , 设平面的法向量为.,则,设平面的法向量为, ,则, ,由图可知二面角的余弦值.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】已知函数
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设a>0,求函数f(x)在[2a,4a]上的最小值;
(3)某同学发现:总存在正实数a、b(a<b),使ab=ba , 试问:他的判断是否正确?若不正确,请说明理由;若正确,请直接写出a的取值范围(不需要解答过程).
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【题目】二次函数f(x)的图象经过点(0, ),且f′(x)=﹣x﹣1,则不等式f(10x)>0的解集为( )
A.(﹣3,1)
B.(﹣lg3,0)
C.( ,1)
D.(﹣∞,0)
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【题目】 某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于的常数),现随机抽取件合格产品,测得数据如下:
尺寸 | ||||||
质量 |
对数据作了初步处理,相关统计量的值如下表:
(1)根据所给数据,求关于的回归方程;
(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品,现从抽取的件合格产品中再任选件,记为取到优等品的件数,试求随机变量的分布列和期望.
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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【题目】如图,已知圆O外有一点P,作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N,作割线NAB,交圆于A、B两点,连接PA并延长,交圆O于点C,连续PB交圆O于点D,若MC=BC.
(1)求证:△APM∽△ABP;
(2)求证:四边形PMCD是平行四边形.
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【题目】为了解患肺心病是否与性别有关,在某医院对入院者用简单随机抽样方法抽取50人进行调查,结果如下列联表:
(Ⅰ)是否有的把握认为入院者中患肺心病与性别有关?请说明理由;
(Ⅱ)已知在患肺心病的10位女性中,有3位患胃病.现在从这10位女性中,随机选出3名进行其它方面的排查,记选出患胃病的女性人数为,求的分布列和数学期望;
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
K | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】在一条公路上,每隔100km有个仓库(如图),共有5个仓库.一号仓库存有10t货物,二号仓库存20t,五号仓库存40t,其余两个仓库是空的.现在想把所有的货物放在一个仓库里,如果每吨货物运输1km需要0.5元运输费,那么要多少才行?
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【题目】设f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(0,+∞)上是单调递增,若 ,△ABC的内角满足f(cosA)<0,则A的取值范围是( )
A.( , )
B.( ,π)
C.(0, )∪( ,π)
D.( , )∪( ,π)
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