Question

已知拋物线C：x²=2py（p＞0）上的一点Q（m，2）到其焦点F的距离为3．
（I）求拋物线C的方程；
（II）过坐标平面上的点F′作拋物线C的两条切线l₁和l₂，分别交x轴于A，B两点．
（i ）若点F′的坐标为（0，-1），如图，求证：△ABF′的外接圆过点F；
（ii）试探究：若改变点F'的位置，或拋物线的开口大小，（i）中的结论是否仍然成立？由此给出一个使（i）中的结论成立的命题，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）先利用抛物线的定义求出p，即可求拋物线C的方程；
（II）（i ）先利用直线与圆相切求出切线l₁和l₂的方程，进而求出A，B两点的坐标，再求出过A，B，F′的圆的方程即可证明结论．
（ii）先由（i ）的提示写出命题：设F'为抛物线x²=2py外一点，若过点F'作抛物线的两条切线l₁，l₂分别交x轴与A，B两点，则△ABF′的外接圆过点F．再证明线段AB，AF'AF的垂直平分线交于一点M，即可证明结论．

解答：解：（I）由抛物线的定义得2-（-

p

2

）=3，解得p=2，
故抛物线的方程为：x²=4y．
（II）（i ）由题得，过点F'（0，-1）且与曲线相切的直线的斜率存在，
设其方程为y=kx-1，
由

x2=4y y=kx-1

得x²-4kx+4=0．
令△=0得k=±1．
故所求的两条切线分别为l₁：y=x-1，l₂，y=-x-1．
设l₁交x轴与点A，则A（1，0）；l₂交x轴与点B，则B（-1，0）．
设△ABF'的外接圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
则.

1+D+F=0 1-D+F=0 1-E+F=0

?

D=0 E=0 F=-1

．
故△ABF'的外接圆方程为x²+y²=1．它过点F（0，1）．
（ii）命题：设F'为抛物线x²=2py外一点，若过点F'作抛物线的两条切线l₁，l₂分别交x轴与A，B两点，则△ABF′的外接圆过点F．
证明：设l₁，l₂分别切抛物线x²=2py于P₁（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．
则x₁≠0，x₂≠0．
∵y'=

x

p

，故l₁，l₂的方程分别为y-y₁=

x1

p

（x-x₁）和y-y₂=

x2

p

（x-x₂）．
解得A（

x1

2

，0）；B（

x2

2

，0）．
由

y- y1= x1 p (x- x1) y-y2= x2 p (x-x2)

，得F'（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
AB的垂直平分线方程为x=

x1+x2

4

；
AF'的垂直平分线方程为y-

x1x2

4p

=-

p

x1

（x-

2x1+x2

4

），
它们的交点为M（

x1+x2

4

，

x1x2+p2

4p

）．
又F（0，

p

2

），故AF的中点为N（

x1

4

，

p

4

），所以

FA

=（

x1

2

，-

p

2

），

MN

=（

x2

4

，

x1x2

4p

）
∴

FA

•

MN

=

x1x2

8

-

px1x2

8p

=0．
故线段AB，AF'AF的垂直平分线交于一点M，即A，B，F'都在以M为圆心的圆上，
也就是说△ABF′的外接圆过点F．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的 位置关系等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力及创新意识，考查化归与转化思想，数形结合思想以及特殊与一般思想．