Question

等比数列{a_n}中，已知a1≠0，公比q＞0，前n项和为S_n，自然数b，c，d，e满足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．求证：S_b•S_e＜S_c•S_d．

Answer 1

证明：（1）当q=1时，S_b•S_e=ba₁•ea₁=bea₁²，S_c•S_d=ca₁•da₁=cda₁²
所以：S_b•S_e-S_c•S_d=bea₁²-cda₁²=a₁²（be-cd）
而be-cd=（c+d-e）e-cd=ce+de-e2-cd=（c-e）（e-d）．
因为c＜e，d＜e，所以c-e＜0，e-d＞0，于是（c-e）（e-d）＜0．又
由a₁≠0，得a₁²＞0，所以Sb•Se＜Sc•Sd
（2）当q≠1时，，
同理：
要比较S_b•S_e与S_c•S_d的大小，只要比较（1-q^b）（1-q^e）与（1-q^c）（1-q^d）的大小，仍然运用差比较法．
（1-q^b）（1-q^e）-（1-q^c）（1-q^d）=q^c+q^d-q^b-q^e=（q^c-q^b）-（q^e-q^d）．
上式=q^bq^-d（q^e-q^d）-（q^e-q^d）=（q^e-q^d）（q^bq^-d-1）=q^-d（q^e-q^d）（q^b-q^d），因为q＞0．所以q-d＞0．
事实上，由b＜d＜e，q＞0，
①当0＜q＜1时，y=q^x是减函数，q^e＜q^d，q^b＞q^d，即q^e-q^d＜0，q^b-q^d＞0；
②当q＞1时，y=q^x是增函数，q^e＞q^d，q^b＜q^d，即q^e-q^d＞0，q^b-q^d＜0．
所以无论0＜q＜1还是q＞1，都有q^e-q^d与q^b-q^d异号，即（q^e-q^d）（q^b-q^d）＜0．
综上所述，无论q=1还是q≠1，都有S_b•S_e＜S_c•S_d．
分析：证明不等式首选方法是差比较法，即作差-变形-判定符号，变形要有利于判定符号，本题应该分为两步操作：
（1）对公比q=1进行讨论，将S_b•S_e与S_c•S_d进行作差、变形，因式分解为（c-e）（e-d），讨论得出其正负；
（2）对公比q≠1的情况加以讨论，运用等比数列前n项和的通项公式，将S_b•S_e与S_c•S_d的差变形，巧妙地运用等式c=b+e-d，将所得结果分解为q^-d（q^e-q^d）（q^b-q^d）的形式，最后根据0＜q＜1与q＞1两种情形加以讨论．
点评：凡是有关等比数列前n项Sn的问题，首先考虑q=1的情况，证明条件不等式时，正确适时地应用所给的条件是成败的关键．
运用作差法比较大小，应该注意因式分解技巧在证明不等式当中的应用；对于分类讨论的问题，结束语中一定要有综合，才算完整．