【题目】已知函数,当时,的极大值为7;当时,有极小值.求
(1)的值;
(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)a=﹣3,b=﹣9,c=2;(2)f(x)最小值=﹣25,f(x)最大值=2.
【解析】
(1)因为当x=﹣1时,f(x)有极大值,当x=3时,f(x)有极小值,所以把x=﹣1和3代入导数,导数都等于0,就可得到关于a,b,c的两个等式,再根据极大值等于7,又得到一个关于a,b,c的等式,三个等式联立,即可求出a,b,c的值.
(2)先求出函数f(x)的单调区间,从而求出函数的最大值和最小值.
(1)∴f(x)=x3+ax2+bx+c
∵f′(x)=3x2+2ax+b
而x=﹣1和x=3是极值点,
所以,解之得:a=﹣3,b=﹣9
又f(﹣1)=﹣1+a﹣b+c=﹣1﹣3+9+c=7,故得c=2,
∴a=﹣3,b=﹣9,c=2;
(2)由(1)可知f(x)=x3﹣3x2﹣9x+2,
∴f′(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x﹣3)(x+1),
令f′(x)>0,解得:x>3或x<﹣1,
令f′(x)<0,解得:﹣1<x<3,
∴函数f(x)在[0,3]递减,在[3,4]递增,
∴f(x)最小值=f(3)=﹣25.
而f(4)=-18,f(0)=2,
∴f(x)最大值=2.
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【题目】手机完全充满电量,在开机不使用的状态下,电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间.
为了解, 两个不同型号手机的待机时间,现从某卖场库存手机中随机抽取, 两个型号的手机各台,在相同条件下进行测试,统计结果如下,
手机编号 | |||||||
型待机时间() | |||||||
型待机时间() |
其中, , 是正整数,且.
()该卖场有台型手机,试估计其中待机时间不少于小时的台数.
()从型号被测试的台手机中随机抽取台,记待机时间大于小时的台数为,求的分布列及其数学期望.
()设, 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等,当型号被测试手机待机时间的方差最小时,写出, 的值(结论不要求证明).
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【题目】下列命题错误的是( )
A. 若p∨q为假命题,则p∧q为假命题
B. 若a,b∈[0,1],则不等式a2+b2<成立的概率是
C. 命题“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“x∈R,x2+x+1≥0”
D. 已知函数f(x)可导,则“f′(x0)=0”是“x0是函数f(x)的极值点”的充要条件
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【题目】已知椭圆的离心率为,点在椭圆上.
()求椭圆的方程.
()设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点为圆心的圆,满足此圆与相交于两点, (两点均不在坐标轴上),且使得直线、的斜率之积为定值?若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
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【题目】已知命题:方程有两个不相等的实数根;命题:不等式的解集为.若或为真,为假,求实数的取值范围.
【答案】或
【解析】
根据“或为真,为假”判断出“为真,为假”,利用判别式列不等式分别求得为假、为真时的取值范围,再取两者的交集求得实数的取值范围.
因为或为真,为假,所以为真,为假
为假,,即:,∴或 ,
为真,,即:,∴或,
所以取交集为或 .
【点睛】
本小题主要考查含有简单逻辑联结词命题的真假性,考查一元二次方程根与判别式的关系,考查一元二次不等式解集为与判别式的关系,属于中档题.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知双曲线的中心在原点,焦点为,且离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)求以点为中点的弦所在的直线方程.
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