Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）对任意n∈N^*，是否存在正实数λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，若存在，求出λ的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用（1）的结论及数列的单调性即可得出．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
∴

2+2d+2q3=24 10+10d-2q3=24

，解得

d=3 q=2

．
∴an=3n-1，bn=2n
（2）假设存在正实数λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，
∴3n-1-9≤λ•2ⁿ，即λ≥

3n-10

2n

对任意n∈N^*恒成立．
设cn=

3n-10

2n

，
则cn+1-cn=

3(n+1)-10

2n+1

-

3n-10

2n

=

13-3n

2n+1

，
当n≥5时，c_n+1＜c_n，{c_n}为单调递减数列；
当1≤n＜5时，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列．
又c4=

1

8

＜c5=

5

32

，
所以当n=5时，c_n取得最大值

5

32

所以要使λ≥

3n-10

2n

对任意n∈N^*恒成立，
则λ≥

5

32

，
即λmin=

5

32

．

点评：熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式、数列的单调性是解题的关键．