Question

已知函数在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．
（Ⅰ）求a的值和切线l的方程；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得函数的导函数，即切线斜率的函数，因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，所以导函数只有一个实根，进而易得a的值与切线1的方程．
（2）因为在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，显然切线斜率≥-1从而可以解出θ的范围．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴f^/（x）=x²-4x+a．（2分）
∵在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，
∴x²-4x+a=-1有且只有一个实数根．
∴△=16-4（a+1）=0，
∴a=3．（4分）
∴x=2，．
∴切线l：，即3x+3y-8=0．（7分）
（Ⅱ）∵f^/（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1．（9分）
∴tanθ≥-1，（10分）
∵θ∈[0，π），
∴（13分）
点评：本题考查了直线的点斜式方程及直线的倾斜角，是一道综合题，应注意运用导函数求解．