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【题目】奇函数fx)定义域是(﹣1,0)∪(0,1),f)=0,当x>0时,总有(xf′(xln(1﹣x2)>2fx)成立,则不等式fx)>0的解集为(  )

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

把已知条件(xf′(xln(1﹣x2)>2fx)变形为f′(xln(1﹣x20,可想到构造函数gx)=fxln(1﹣x2)并判断其单调性,结合f)=f)=0,得g)=g)=0,由单调性可得,在(﹣1,),(0,)上,gx)<0,而ln(1﹣x2)<0,则fx)>0成立,答案可求.

∵当x>0时,总有(xf′(xln(1﹣x2)>2fx)成立,即f′(xln(1﹣x2成立,也就是f′(xln(1﹣x20成立,

又∵ln(1﹣x2)=ln(1﹣x)+ln(1+x),

,即[fxln(1﹣x2)]′>0恒成立,

可知函数gx)=fxln(1﹣x2)在(0,1)上单调递增,

fx)是奇函数,∴gx)=fxln(1﹣x2)是奇函数,则在(﹣1,0)上单调递增,

f)=f)=0,∴g)=f)=0,

gx)的图象如下:

在(﹣1,),(0,)上,gx)<0,而ln(1﹣x2)<0,∴fx)>0成立.

∴不等式fx)>0的解集为

故选:B

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