Question

已知函数y=sin（ωx+

π

4

）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

π

3

，若存在最小正数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数，则该偶函数在[0，π]上的单调增区间为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：由三角函数的性质可知，函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离即为周期的

1

2

T，从而可求T，然后根据周期公式可求ω，从而可得f（x），函数的图象向左平移m个单位后所对应的函数f（x+m）是偶函数，从而可求m，得平移后的函数解析式，即可求该偶函数在[0，π]上的单调增区间．

解答： 解：由题意知，

T

2

=

π

3

，
∴T=

2π

3

，
∴ω=

2π

T

=3，
∴f（x）=sin（3x+

π

4

）；
又f（x+m）=sin（3x+3m+

π

4

）是偶函数，
∴3×0+3m+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），
即m=

kπ

3

+

π

12

（k∈Z）所以，最小的正实数m是

π

12

．
∴f（x+

π

12

）=sin（3x+3×

π

12

+

π

4

）=cos3x，
∴令π+2kπ≤3x≤2π+2kπ，可解得k=0时，该偶函数在[0，π]上的单调增区间为[

π

3

，

2π

3

]．
故答案为：[

π

3

，

2π

3

]．

点评：本题主要考查了诱导公式及两角和的余弦公式，考查了由三角函数的部分图象的性质求解函数的解析式，还考查了三角函数的性质的应用，属于中档题．