Question

6．已知函数f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x²+2
（1）求f（x）的解析式及减区间；
（2）若f（x）≤x²+ax+b，求$\frac{b-3}{a+2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x²+2，通过赋值法求出f（0）=2，f′（0）=-1，得到函数的解析式，利用导函数小于0，求解f（x）的减区间．
（2）化简不等式得到b-2≥ln（x+1）-（a+2）x，构造g（x）=ln（x+1）-（a+2）x，求出函数的导数，通过分类讨论求出函数的最大值，得到b-2≥a+1-ln（a+2），化简$\frac{b-3}{a+2}$≥$\frac{a}{a+2}-\frac{ln（a+2）}{a+2}$，构造函数h（a）=$\frac{a}{a+2}-\frac{ln（a+2）}{a+2}$，利用函数的导数情况h（a）≥1-e，推出$\frac{b-3}{a+2}$的最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x²+2，
令x=0 得f（0）=2，f（x）=ln（x+1）-2x-f′（0）x²+2
f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2-2f′（0）x，所以f′（0）=-1，
∴f（x）=ln（x+1）-2x+x²+2，f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2+2x=$\frac{2{x}^{2}-1}{x+1}$．
由f′（x）＜0得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴f（x）的减区间为（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（2）由题意  ln（x+1）-2x+x²+2≤x²+ax+b，
∴b-2≥ln（x+1）-（a+2）x，
设g（x）=ln（x+1）-（a+2）x，
g′（x）=$\frac{1}{x+1}-（a+2）$．
当a+2≤0时，g′（x）＞0恒成立，g（x）无最大值；
当a+2＞0时，由g′（x）＞0得-1＜x＜$\frac{1}{a+2}$-1，g′（x）＜0得x＞$\frac{1}{a+2}$-1．
∴g（x）在（-1，$\frac{1}{a+2}$-1）上为增函数，在（$\frac{1}{a+2}$-1，+∞）上为减函数．
∴g（x）≤$g（\frac{1}{a+2}-1）$=a+1-ln（a+2），
∴b-2≥a+1-ln（a+2），
∴$\frac{b-3}{a+2}$≥$\frac{a}{a+2}-\frac{ln（a+2）}{a+2}$，
设h（a）=$\frac{a}{a+2}-\frac{ln（a+2）}{a+2}$，h′（a）=$\frac{1+ln（a+2）}{（a+2）^{2}}$，
由h′（a）＞0得a＞$\frac{1}{e}$-2，h′（a）＜0得-2＜a＜$\frac{1}{e}$-2，
∴h（a）≥$h（\frac{1}{e}-2）$=1-e，所以$\frac{b-3}{a+2}$的最小值为1-e．

点评 本题关键是先利用代入法求出f（0），第二问中关键是合理构造函数，利用函数单调性求出函数的最值．是难度比较大的题目．