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(本小题满分14分)

已知函数 

(1) 当时,求函数的最小值;

(2) 求函数的单调区间;

(3) 试说明是否存在实数使的图象与无公共点.

 

【答案】

解:(1) 函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞)…………………1分

当a=1时,,所以f (x)在为减函数  ………………3分

为增函数,所以函数f (x)的最小值为=.………………………5分

(2) ………………………………………………6分

若a≤0时,则f(x)在(1,+∞)恒成立,所以f(x)的增区间为(1,+∞).…………………………………………………………………………8分

若a>0,则故当,…………… 9分

时,f(x) ,

所以a>0时f(x)的减区间为,f(x)的增区间为.………………10分

(3) a≥1时,由(1)知f(x)在(1,+∞)的最小值为,……………11分

在 [1,+∞)上单调递减,

所以>0,…………………………12分

因此存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于

故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与无公共点.…………………………14分

【解析】略

 

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3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化简f(x)的表达式,并求f(x)的最小正周期;
(II)当x∈[0,
π
2
]  时,求函数f(x)
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