Question

设函数f（x）=A（sinωx+cosωx）（A＞0，ω＞0），则在“①f（x）的最大值为A；②f（x）的最小值正周期为

2π

ω

；③函数f（x）在区间[0，

π

4

]上是增函数；④若f（x）在区间[

π

8

，

π

4

]上是单调的；⑤若f（

π

8

）=f（

3π

8

），则f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称”中，正确的有

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：由条件利用正弦函数的最值、周期性、图象的对称性、单调性，对各个结论的正确性作出判断，从而得出结论．

解答： 解：f（x）=A（sinωx+cosωx）=

2

Asin（ωx+

π

4

），
①f（x）的最大值为

2

A，故不正确；
②由周期公式可得T=

2π

ω

，故f（x）的最小值正周期为

2π

ω

，正确；
③取ω=3时，f（0）=A，f（

π

4

）=0，故不正确；
④由f（x）在区间[

π

8

，

π

4

]上是单调的，可得

π

4

-

π

8

≤

1

2

•

2π

ω

，即0＜ω≤8，若f（x）的图象的一条对称轴是直线x=

π

4

，则ω•

π

4

+

π

4

=kπ+

π

2

，即ω=4k+1，k∈z；故④不正确．
⑤若f（

π

8

）=f（

3π

8

），则f（x）的图象关于直线x=

π 8 + 3π 8

2

=

π

4

对称，故⑤正确
故答案为：②⑤．

点评：本题主要考查正弦函数的最值、周期性、图象的对称性、单调性，属于基本知识的考查．