Question

10．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{x+b}$（a、b为常数）．
（1）若b=1，解不等式f（x-1）＜0．
（2）若a=1，当x∈[-2，2]时，f（x）＞$\frac{-1}{（x+b）^{2}}$恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把b=1代入函数解析式，然后分类求解得答案；
（2）把x∈[-2，2]时，f（x）＞$\frac{-1}{（x+b）^{2}}$恒成立，转化为x²+（b+1）x+b+1＞0且x+b≠0在x∈[-2，2]时恒成立，然后利用三个二次结合列不等式组求解．

解答 解：（1）当b=1时，f（x）=$\frac{x+a}{x+1}$，
f（x-1）=$\frac{x-1+a}{x}$，由f（x-1）＜0，得
$\frac{x-（1-a）}{x}＜0$．
若a=1，不等式的解集为∅；
若a＜1，不等式的解集为（0，1-a）；
若a＞1，不等式的解集为（1-a，0）．
（2）若a=1，则f（x）=$\frac{x+1}{x+b}$，
当x∈[-2，2]时，f（x）＞$\frac{-1}{（x+b）^{2}}$恒成立，
即$\frac{x+1}{x+b}$＞$\frac{-1}{（x+b）^{2}}$恒成立，也就是$\frac{{x}^{2}+（b+1）x+b+1}{（x+b）^{2}}＞0$恒成立，
∴x²+（b+1）x+b+1＞0且x+b≠0在x∈[-2，2]时恒成立．
即（b+1）²-4（b+1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b+1}{2}≤-2}\\{4-2（b+1）+b+1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b+1}{2}≥2}\\{4+2（b+1）+b+1＞0}\end{array}\right.$．
解得：-1＜b＜3，
又x+b≠0在x∈[-2，2]时恒成立，
∴2＜b＜3．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用“三个二次”结合求解恒成立问题，是中档题．