Question

7．当x∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$时，求函数y=3-sinx-2cos²x的最小值和最大值．

Answer 1

分析 利用三角函数的平方关系式，结合换元法，通过二次函数的闭区间的最值求解即可．

解答 解：y=3-sinx-2cos²x=3-sinx-2（1-sin²x）=2sin²x-sinx+1．…（3分）
令sin x=t，x∈$[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，…（6分）
则原函数可化为y=2t²-t+1，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]．…（8分）
当t=$\frac{1}{4}$时，y_min=$\frac{7}{8}$；  …（10分）
当t=-$\frac{1}{2}$或t=1时，y_max=2．…（12分）

点评 本题考查三角函数的化简，三角函数的最值的求法，保护费以及二次函数的最值的求法，考查计算能力．