Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

5

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上的动点P引圆O：x²+y²=b²的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据短轴一个端点到右焦点的距离为3求出a，然后根据离心率求出b，最后根据a、b、c关系求出b，从而求出椭圆的标准方程；
（2）设P点坐标为（x₀，y₀），若∠APB=90°，则有|OA|=|AP|，建立关于x₀和y₀的一个方程，然后根据P（x₀，y₀）在椭圆上，建立第二个方程，解之即可求出所求．

解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意

c a = 5 3 a=3 a2=b2+c2

∴b=2，∴所求椭圆方程为

x2

9

+

y2

4

=1
（2）如图，设P点坐标为（x₀，y₀），
若∠APB=90°，则有|OA|=|AP|．
即|OA|=

|OP|2-|OA|2

有2=

x02+y02-4

两边平方得x₀²+y₀²=8①
又因为P（x₀，y₀）在椭圆上，所以4x₀²+9y₀²=36②
①，②联立解得x02=

36

5

，y02=

4

5

所以满足条件的有以下四组解

x0= 6 5 5 y0= 2 5 5

，

x0= 6 5 5 y0=- 2 5 5

，

x0=- 6 5 5 y0= 2 5 5

，

x0=- 6 5 5 y0=- 2 5 5

所以，椭圆C上存在四个点(

6 5

5

，

2 5

5

)，(

6 5

5

，-

2 5

5

)，(-

6 5

5

，

2 5

5

)，(-

6 5

5

，-

2 5

5

)，
分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直．

点评：本题考查了椭圆的标准方程与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，以及圆的切线方程，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，此题是个难题．